ちびグルーヴは掃除をします。

1二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 21:30:48

前日に掃除をしなかった場合は1/3、前日に掃除をしていた場合は1/4の確率で掃除をする。
初日は1/3の確率で掃除をするとして、以下の確率を求めよ。
(1)n日目に初めて掃除をする確率。
(2)n日目に掃除をする確率。
(3)n日目に初めて2連続目の掃除をする確率。

2二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 21:33:47

？

3二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 21:34:54

？

4二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 21:36:00

？

5二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 21:36:58

1,2と3の難易度の落差よ

6二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 21:38:25

…？

7二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 21:39:46

？？？「んなの分かるわけねぇだろふざけんじゃねぇあの掃除魔！」

？？？「ジャスティス！落ち着いて！！！」

>>8

8二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 21:40:18

>>7

やべリンク忘れた

まだ存在しない <a href="https://twitter.com/hashtag/ウマ娘" target="_blank">#ウマ娘</a>
シルクジャスティスとエリモダンディーちゃんです — VitB6 (vvvvvvitb6) 2021年09月05日

9二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 21:48:17

(1)(n-1)日目まで掃除をせず、n日目に掃除をする ∴2/3^(n-1)×1/3
(2)①(n-1)日目に掃除した場合②(n-1)日目に掃除しなかった場合に分ければいいのか？ただそれぞれの発生率が分かんねえ
(3)(n-2)日目まで2連続掃除をしない確率が分かんねえ

>>12

10二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 21:55:54

(2)はたぶん確率漸化式でいける
(3)はわからん

>>12

11二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 22:00:40

クソ適当

>>13

12二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 22:02:19

>>9

>>10

(1)正解

(2)ワリといい線いってる

n-1日目に掃除をする確率と、n日目に掃除をする確率の関係を考える

(3)(2)と同じ考え方だが一工夫いる

13二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 22:03:46

>>11

やべ3間違った

14二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 22:06:45

まずは答えだけ
(2)
4/13 + (-1/12)^(n-1) × (1/39)

>>15

15二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 22:07:30

>>14

正確！学生だったりする？

>>18

161423/12/31(日) 22:09:44

解法

17二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 22:10:51

(3)めんどくさそう

>>19

18二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 22:12:08

>>15

もう受験は通り過ぎてしまいましたがね…

確率は苦手だったが確率漸化式だけ例外的によくできたのを思い出しました

19二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 22:14:58

>>17

うわ最後だけ計算ミスしてる…

20二次元好きの匿名さん23/12/31(日) 22:22:09

(1)
n日目に初めて掃除をする場合、n-1日目まで掃除をしていない必要がある。
これより、n-1回連続で掃除をせず、且つn日目に掃除をすればよい。
その確率は(\frac{2}{3})^{n-1} \times (\frac{1}{3}) = \frac{2^{n-1}}{3^{n}}

(2)
n-1日目に掃除をしているかしていないかで場合分けを行う。
n日目に掃除をしている確率をp_{n}と置こう。
1]n-1日目に掃除をしているとき、そこから次の日に掃除をする確率は\frac{1}{4}である。
したがって、全体で確率は\frac{p_{n-1}}{4}。
2]n-1日目に掃除をしていないとき、ここから次の日に掃除をする確率は\frac{1}{3}である。
したがって、全体で確率は\frac{1-p_{n-1}}{3}。

1],2]より、p_{n}について次の漸化式を立てることができる。
p_{n+1} = \frac{p_{n}}{4} + \frac{1-p_{n}}{3}
= -\frac{p_{n}}{12} +\frac{1}{3}

これは旧高校数学課程におけるⅡＢでの漸化式についての知識からして解ける。次のように変形する。
p_{n+1}-\frac{4}{13} = -\frac{1}{12}(p_{n}- \frac{4}{13})
ここから一般項がわかって、
p_{n} - \frac{4}{13} = (-\frac{1}{12})^{n-1}(p_{1} - \frac{4}{13})
P_{1} = \frac{1}{3}より、整理すると、
p_{n} = \frac{4}{13}(1-(-\frac{1}{12})^{n})
となる。これがちびグルーヴがn日目に掃除する確率である。