- 1二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 08:00:00
むっちんぷりん金玉の内部(周を除くものとする♡)にある格子金玉♡の個数をN(n)とする……♡
極限lim[n→∞]N(n)/n^2を求めよっ♡
(ただし、この金玉はボタンを押すことで大きくなっていくものとする……♡)
どうする？♡ - 2二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 08:09:48
直感的には答えは π だな
- 3二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 08:10:04
出たか数とろ
- 4二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 08:10:44
おはよう昨日の本家とリンクしてきた？
- 5二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 08:18:25
あっボタンを押すことで大きくなる金玉だ
数とろも持っていたのか - 6二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 08:25:21
大円内部の格子金たまの個数は、左下の頂点が大円内部にある単位正方形の個数、すなわちこれら正方形の面積の総和に等しいが、この面積は半径 n ｰ √2 の円の面積よりは大きく、半径 n + √2 の円の面積よりは小さい
- 7二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 08:28:52
第一象限の部分について考えると
[x]をxを超えない最大の整数として
総和はkを1からnまでΣ[√n^2-k^2]で、
x-1<[x]≦x
を使って上手いこと挟めば多分いける - 8二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 08:32:43
- 9二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 08:54:05
n=10くらいまではごり押しでいけそう
それ以上は知らん - 10二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 09:12:03
n=2 9/4 2.25
n=3 25/9 約2.78
n=4 45/16 約2.81
n=5 69/25 約2.76
n=6 101/36 約2.80
n=7 145/49 約2.95
間違ってなかったらこう
- 11二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 10:06:56
ボタン要素がいらないのはわかる
- 12二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 14:29:32
境界とかx軸、y軸上の評価はもう少し厳しく注意しないとだけど、多分x＝k上に在る格子点の個数N(n,k)の評価はガウス関数の性質x-1 <［x］≤ xだからだいたい
√(n^2-k^2)-1 < N(n,k) < √(n^2-k^2)
よって
√(1-(k/n)^2) ×(1/n) - 1 /n^2
< N(n,k)/n^2 <
√(1-(k/n)^2) ×(1/n)
これをｋで総和をとると区分求積法よりπ - 13二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 16:57:53
ドラゴンボールで見た
- 14二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 19:03:53
追加……♡
平面上に半径nの金玉が13個あるっ♡(不思議っ♡)このとき、いずれか金玉の内部(周を除く♡寂しい♡)にある格子金玉♡の個数をN′(n)とする……♡
極限lim[n→∞]N′(n)/N(n)を求めよっ♡
(金玉が13つであるように……♡) - 15二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 19:35:39
- 16二次元好きの匿名さん24/12/10(火) 23:28:29
解けるやつ尊敬するわ
- 17二次元好きの匿名さん24/12/11(水) 09:36:35
数とろ解説まだ来ないな
- 18二次元好きの匿名さん24/12/11(水) 09:38:08
今日は数とろも歴とろも出たか…
- 19二次元好きの匿名さん24/12/11(水) 18:18:56
🤯
- 20二次元好きの匿名さん24/12/11(水) 18:24:46
問題の解釈とアプローチ
問題の意図:
格子玉: x座標とy座標がともに整数の点
半径nの円: 原点を中心とする半径nの円
N(n): この円の内部にある格子玉の個数
求めるもの: nが無限大に近づくとき、N(n)/n^2の値
解法の考え方:
面積との関係: 円の面積と格子玉の個数にはある程度の相関関係があると考えられる。
近似: 円の面積を格子玉の個数で近似し、nが大きくなるにつれてその近似がより正確になることを利用する。 - 21二次元好きの匿名さん24/12/11(水) 18:25:43
解答
1. 円の面積と格子玉の個数の関係
円の内側の格子玉: 円の内側にある格子玉は、円の中心を頂点とする一辺の長さが2の正方形の中に含まれる格子玉の個数とほぼ一致すると考えられる。
面積の比: 円の面積と、これらの正方形の面積の比を考えると、N(n)/n^2は、π/4に近づくことが予想される。
2. 厳密な証明
厳密な証明は解析学的な手法を用いる必要があるが、直感的な理解のため、以下のようにも説明できる。
二重積分: 円の内部の点を(x, y)とすると、xとyはともに-nからnまでの範囲を取る。よって、N(n)は、以下の二重積分で近似できる。
N(n) ≈ ∬[x^2+y^2≤n^2] dxdy
ここで、∬は二重積分を表し、積分範囲はx^2+y^2≤n^2（つまり、円の内側）である。
極座標変換: 上の二重積分を極座標に変換すると、
N(n) ≈ ∫[0,2π]∫[0,n] r dr dθ
これを計算すると、
N(n) ≈ πn^2
となる。
極限: 両辺をn^2で割ると、
N(n)/n^2 ≈ π
nが無限大に近づくとき、この近似はより正確になり、
lim[n→∞]N(n)/n^2 = π
が成り立つ。
結論
したがって、極限lim[n→∞]N(n)/n^2の値はπである。 - 22二次元好きの匿名さん24/12/11(水) 18:25:57
補足:
上の証明は厳密なものではなく、直感的な説明である。厳密な証明には、誤差評価などが必要となる。
この問題は、数学の分野では「格子点問題」と呼ばれる問題の一種であり、様々な応用がある。
π/4ではなくπとなるのは、円の内側の格子点を数える際に、円周上の格子点や、正方形の角の部分の格子点を重複して数えているためである。
この結果から、半径が十分に大きい円においては、その内部の格子点の個数は、円の面積に比例し、その比例定数がπであることがわかる。 - 23二次元好きの匿名さん24/12/11(水) 19:52:32
解♡答……♡
難易度: ひやひや金玉アイスノンお当番さん俺♡ - 24二次元好きの匿名さん24/12/11(水) 20:02:01
難易度は5段階中の3か…
易: 金玉線香花火俺♡
↑: セミ俺っ♡
｜: ひやひや金玉アイスノンお当番さん俺♡
↓: 合法痴漢特急車掌さん俺♡
難: 金玉お月様俺♡ - 25二次元好きの匿名さん24/12/12(木) 07:04:06
πになる理由はうっすら分かった