俺♡「x座標およびy座標が共に整数である金玉を格子金玉♡という…♡(？？♡)原点を中心とする半径nの金玉を考えるっ♡(ぷりん…♡

[1 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 08:00:00]

むっちんぷりん金玉の内部(周を除くものとする♡)にある格子金玉♡の個数をN(n)とする……♡
極限lim[n→∞]N(n)/n^2を求めよっ♡
(ただし、この金玉はボタンを押すことで大きくなっていくものとする……♡)
どうする？♡

[2 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 08:09:48]

直感的には答えは π だな

[3 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 08:10:04]

出たか数とろ

[4 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 08:10:44]

おはよう昨日の本家とリンクしてきた？

[5 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 08:18:25]

あっボタンを押すことで大きくなる金玉だ
数とろも持っていたのか

[6 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 08:25:21]

大円内部の格子金たまの個数は、左下の頂点が大円内部にある単位正方形の個数、すなわちこれら正方形の面積の総和に等しいが、この面積は半径 n ｰ √2 の円の面積よりは大きく、半径 n + √2 の円の面積よりは小さい

[7 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 08:28:52]

第一象限の部分について考えると
[x]をxを超えない最大の整数として
総和はkを1からnまでΣ[√n^2-k^2]で、
x-1<[x]≦x
を使って上手いこと挟めば多分いける

[8 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 08:32:43]

>>7

周を含まないのが地味に処理が面倒かもしれん(ガウス記号だけじゃ周の上にあるやつを数えちゃう？)

結論には影響しないんだろうけど

[9 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 08:54:05]

n=10くらいまではごり押しでいけそう
それ以上は知らん

[10 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 09:12:03]

>>9

n=2 9/4 2.25

n=3 25/9 約2.78

n=4 45/16 約2.81

n=5 69/25 約2.76

n=6 101/36 約2.80

n=7 145/49 約2.95

間違ってなかったらこう

[11 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 10:06:56]

ボタン要素がいらないのはわかる

[12 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 14:29:32]

境界とかx軸、y軸上の評価はもう少し厳しく注意しないとだけど、多分x＝k上に在る格子点の個数N(n,k)の評価はガウス関数の性質x-1 <［x］≤ xだからだいたい
√(n^2-k^2)-1 < N(n,k) < √(n^2-k^2)
よって
√(1-(k/n)^2) ×(1/n) - 1 /n^2
　　< N(n,k)/n^2 <
√(1-(k/n)^2) ×(1/n)
これをｋで総和をとると区分求積法よりπ

[13 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 16:57:53]

ドラゴンボールで見た

[14 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 19:03:53]

追加……♡
平面上に半径nの金玉が13個あるっ♡(不思議っ♡)このとき、いずれか金玉の内部(周を除く♡寂しい♡)にある格子金玉♡の個数をN′(n)とする……♡
極限lim[n→∞]N′(n)/N(n)を求めよっ♡
(金玉が13つであるように……♡)

[15 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 19:35:39]

直感的には全部がほぼ重なるから1…？

>>6の面積から攻めるやつが便利そう

2つを取り出してこの和集合の面積はnが無限大だと1つと変わらない、ってのを繰り返す感じでいけないだろうか

[16 二次元好きの匿名さん 24/12/10(火) 23:28:29]

解けるやつ尊敬するわ

[17 二次元好きの匿名さん 24/12/11(水) 09:36:35]

数とろ解説まだ来ないな

[18 二次元好きの匿名さん 24/12/11(水) 09:38:08]

今日は数とろも歴とろも出たか…

[19 二次元好きの匿名さん 24/12/11(水) 18:18:56]

🤯

[23 二次元好きの匿名さん 24/12/11(水) 19:52:32]

解♡答……♡
難易度: ひやひや金玉アイスノンお当番さん俺♡

[24 二次元好きの匿名さん 24/12/11(水) 20:02:01]

難易度は5段階中の3か…

易: 金玉線香花火俺♡
↑: セミ俺っ♡
｜: ひやひや金玉アイスノンお当番さん俺♡
↓: 合法痴漢特急車掌さん俺♡
難: 金玉お月様俺♡

[25 二次元好きの匿名さん 24/12/12(木) 07:04:06]

πになる理由はうっすら分かった

[26 二次元好きの匿名さん 24/12/12(木) 10:42:07]

別解の「√2 より大きければ」は「≧√2」？「> √2」？

面積（2 次元量）を測ってるから 0 次元や 1 次元の集合は無視していいし

「≧√2」だよな？

[27 二次元好きの匿名さん 24/12/12(木) 17:39:50]

追加問題の解答
大きくすれば結局一つの円に限りなく近づくので考えることは全く同じ
ただ問題の設定が大雑把なので評価も大雑把にする形となる

[28 二次元好きの匿名さん 24/12/13(金) 01:40:47]

どれだけ大きい数であっても定数ならば無限の前では０に等しい

なんかカッコいな