連続性って不思議だよね【数学】

[1 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 00:59:15]

有理数っていう実数の内でほんの僅かしか占めない数の集合上でしか振る舞いが定まってない関数でも
連続性を仮定するだけで実数全体での振る舞いも決定するんだから

[2 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 01:05:09]

ってこの動画の問題解いてて思いました

最もシンプルな関数方程式

ちなみに回答はしたけど解答はまだ観てません

[3 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 01:24:35]

>>2

いやそこは見とけよ

[4 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 01:26:58]

連続性を仮定するだけで実数全体での振る舞いも決定するんだから

こんな定理あったっけ？

[5 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 01:31:45]

>>4

名前が付いてるからどうかは知らんけど一応示せるよ

まず実数にはその実数に収束する有理数列が作れるじゃん？

それで考える関数には連続性があるから有理数列を関数で送ったものの極限と実数を関数で送ったものが等しくなって

有理数での関数の振る舞いは分かってるから自動的に実数での振る舞いも上二つの理由から定まるよねって感じで

[6 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 01:32:54]

そもそも実数の定義そのものじゃ？

[8 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 01:36:48]

解析接続の定理みたいな趣があるよねこれ

[9 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 01:46:57]

>>8

まあ多分正則関数とか連続関数って他の関数と比べて少ないんだろうね

ある程度条件狭めたら即座に確定しちゃうあたり

[10 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 08:04:46]

数学苦手俺に例え話で分かりやすくふわっと教えて

[11 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 11:14:48]

子どもたちを並べさせたいとします

子どもたちは自由奔放なので一直線に並べなんて指示は受け付けません

しかしあなたは何とかして横方向にだけは整列させることができましたが、縦方向には自由に動いているので列がそれはそれはもうギザギザです

[12 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 11:17:05]

>>10

>>11

そこで、一直線に子どもたちを並べたいあなたは真面目そうな1くんと3ちゃんに指定の場所で動かないように指示します

[13 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 11:21:18]

>>10

>>12

最後にあなたは子どもたち全員に手を繋ぐよう指示します

すると自動的に子どもたちがギザギザすることなく一直線に並んでくれました

[14 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 11:27:54]

>>10

>>13

ほんの一部の真面目な子どもがいる場所が決まるだけで

手を繋ぐって条件の下だと残りの子どもたち全員の場所も決まっちゃうよねって話です

この例における「真面目な1くんと3ちゃん」は>>1における「有理数」に

「手を繋がせること」は>>1における「連続性を仮定すること」に該当してます

[15 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 11:32:03]

>>14

一次関数で座標2箇所確定させれば元の関数確定するみたいなもん？

[16 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 11:34:02]

説明わかりやすいんだけど数字で出されると多分分からなくなる奴だこれ

[17 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 13:05:25]

>>15

そうそう

それを無限個の点でやってる

[18 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 16:31:11]

>>2

f(x + y + 1) = f(x) + f(y)　(∀x,y∈R)

を満たす連続関数 f : R → R をすべて求めるって問題も簡単だから解いてみてくれ

[19 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 17:00:37]

>>10

Ａさんが午後１３時に渋谷駅ハチ公像まえを歩き掛かったとしたら１３時前後には渋谷駅付近にいたはずだよね、

というのを数学的に堅苦しく言ったのが連続性

Ａさんが連続的に歩く（瞬間移動能力者ではない）と仮定したうえで

・１２時５５分に渋谷駅から東５００ｍにいて

・１３時０５分に渋谷駅から西５００ｍにいた

としたら１３時にはもうこれ渋谷駅まえにいたでしょ、って分かる

[20 二次元好きの匿名さん 25/08/01(金) 17:25:54]

>>9

関数 ⊃⊃… ⊃ 連続関数 ⊇ C^1 ⊇ C^2 ⊇… ⊇ C^∞ ⊃⊃… ⊃ 解析関数

くらいのイメージ

[21 10 25/08/01(金) 18:01:00]

>>14

>>19

ふわっとわかった！ありがとう！

[23 二次元好きの匿名さん 25/08/02(土) 03:03:03]

数学だあ

[24 二次元好きの匿名さん 25/08/02(土) 12:36:48]

>>16

逆に数字で理解しても

イメージが難しいって例もあるんだよなぁ

[25 二次元好きの匿名さん 25/08/02(土) 13:10:29]

>>18

40分かかったわ、

手こずらせやがって…………ペｯ

[26 二次元好きの匿名さん 25/08/02(土) 15:49:59]

>>18

自分も解いたぞ

[27 二次元好きの匿名さん 25/08/02(土) 19:12:17]

ユークリッド空間での連続性は物理的直感に合致するから感覚でわかるけど
整数論の学者があつかうような位相空間はまるで想像できない

[28 二次元好きの匿名さん 25/08/02(土) 22:51:37]

そういえば公理的集合論の文脈で実数を構成して連続性とかの基本的な性質を証明している文献ってみたことないな
まあ2^ωとかω^ωを実数全体だと看做す分野だししゃーないか