2025年亜久米大数学俺♡「問題は1から6まであるとする♡問題冊子は試験終了後持ち帰ること♡(遠慮しなくても…いいものとするっ♡

[1 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 17:22:02]

問1っ……♡
2^x-2^y=xyを満たす整数x,yの組を全て求めよ……♡

問2♡
座標が共に整数である金玉を格子金玉という……♡各頂点が格子金玉であり、一点が原点である面積が2025の豆腐(長方形……♡)はいくつ存在するか……？♡

問3
平面上で半径1の金玉が互いに接している……♡(ぴたぁ♡)接点からは長さ2πの毛が生えている♡(ぴろっ♡)毛が平面上で動きうる領域の面積を求めよ……♡(ただし、毛は片側にしか出ていないものとする♡)(必要であればcos♡+♡sin♡=1を満たす♡を用いても善い……♡)

問4ぉ〜んっ♡
次の規則に従って動く座標平面上の金玉を考えるっ♡
1: 初め、金玉は原点にある。
2: 1秒ごとに点(m,n)から点(m+1,n), (m-1,n) ,(m,n+1) ,(m,n-1)のいずれかに、等確率で移動を試みる……♡
3: 金玉は|x|≦1かつ|y|≦1を満たす領域から外には出られず、外に出る方向に移動を試みた場合、1秒その場に留まるものとするっ♡
n秒後に原点にある確率を求めよ♡

問5
辺の長さがa,b,cである三角形を考える……♡
(1)この三角形を4つ用いて四面体が作れるための必要十分条件を求めよ。(展開図及び豆腐に着目するとよい……♡)
(2)三角形は(1)の条件を満たすとする。四面体の内接金玉の半径をr,外接金玉の半径をRとしたとき、r/Rを求めよ♡

問6♡♡
原点を中心とする半径1の金玉Sと直線x=1,y=0を中心軸とする半径1の円柱Tを考える……♡
(1)平面z=tでSとTを切断(痛いっ♡)したときの断面をそれぞれSt,Ttとする。StとTtの交点をPt,Qtとし、Stの中心をOtとする♡∠PtOtQt=2θとおくとき、tをcosθを用いて表せ……♡
(2)SとTの周と内部の共通部分の体積を求めよ♡

どうする？♡

[2 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 17:34:55]

こんな時間に数とろ！

[3 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 17:36:49]

こんな状態でもスレあげるとはやっぱりたつとろ一派は名誉あにまん民…

[4 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 17:36:54]

先週見つけられなかったけど試験準備だったか
多い！多いぞ！

[5 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 17:37:53]

珍しくyy:00:00じゃない投稿時刻だな

[6 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 17:38:52]

おい本家たつとろが消えたぞお前ら

[7 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 17:44:23]

とりあえず保守
数とろいつも問題ありがとな

[8 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 17:45:11]

数とろは消えないよねそうだよね？

[9 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 17:45:12]

問1以外何言ってるのかすら分かんねえ

[10 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 17:52:27]

義によって逆立ち致す

[11 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 17:52:46]

問２は正負もありで考えるんかな
整数✕整数＝2025になる組み合わせ挙げればいいんだろうけど求め方がわからん
総当りでいくしかないか

[12 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 19:32:52]

本家消えたの……？マジ……？

[13 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 19:34:25]

>>12

お猿の青金玉画像で消された説

【閲覧注意】例の金玉野郎のスレタイ｜あにまん掲示板

[14 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 19:37:08]

>>11

格子に平行な辺を持つ長方形に関しては第一象限を中心に考えて4倍すればいいはず

2025=3^4*5^2なんで、割と単純な場合の数で求められる

問題は象限をまたぐ斜め向きの長方形の数なんだが…ここから先は思いつかないな

[15 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 21:56:58]

>>1

(0,0)は問1の(x,y)を満たしてることはわかった

[16 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 22:25:00]

これやっぱ大学入試レベルなのかな

[17 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 23:54:06]

大学受験の頃の自分なら解けたかと言うと自信がない

[18 二次元好きの匿名さん 25/02/18(火) 23:55:33]

どうせなら来週やれよ…(2/25)

[19 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 00:03:26]

>>14

面積が2025ということは辺の長さは整数確定だから斜め向きは考えなくて良いんじゃない？

[20 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 01:05:16]

>>19

例えば(0,0),(27,36),(36,-27),(63,9)の4点を頂点に取れば、一辺45の正方形ができるから面積は2025

他にも5:405,15:135でもできる（長辺と短辺がどちらも5の約数を持つ場合、3:4:5の直角三角形をベースに考えられる。各辺が整数比で表せる三角形は他にもあるが、この問題で成立するのは3:4:5だけのはず）

だから、水平な長方形の数に加えて斜めの長方形6種類*4方向=24個を足すのが答えかな？とは思う

[21 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 02:03:31]

>>13

調べたらマジで青いんだな

[22 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 04:48:35]

問1
x^2-y^2＝xy を考える。
(i)どちらも奇数の場合
奇数-奇数＝奇数　となるが、
奇数-奇数は偶数　のため不適
(ii)どちらかが奇数、どちらかが偶数の場合
偶数-奇数＝偶数　or 奇数-偶数＝偶数　となるが、
偶数-奇数は奇数のため不適。
(iii)どちらかが偶数0のとき
y^2＝0 もしくは x^2＝0 となり、
(0,0)のみ成り立つことがわかる。
(iv)どちらも0以外の偶数の場合
(i)、(ii)から、x、yがどちらも偶数の場合以外は成り立たないとわかっているため、
x^2-y^2＝xy
はx、yのどちらも偶数でのみ成り立つ。
「x、yがどちらも0ではない偶数である」と仮定する。x、yはどちらも偶数のため
x＝2a
y＝2b
とおける。
x^2-y^2＝xy
に代入し、4で割ると
a^2-b^2＝ab
であり、a、bはこれを満たす。これによりa、bはどちらも偶数でなくてはならない。xとyが0ではないため、aとbはどちらも0でない偶然であり、つまり
a＝2c
b＝2d
であるが、無限にこの手順を繰り返さなくてはならなくなる。これは仮定「x、yがどちらも0ではない偶数である」が誤っているためであり、
x^2-y^2＝xy
でx、yがどちらも0以外の偶数とき、成り立たたないことがわかる。
よって、満たす整数の組み合わせは(0,0)のみ。
これで問1は合ってるかな？

[23 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 05:16:51]

>>20

斜辺が√5、405√5の長方形でも面積は2025になる

(0,0)と(1,2)の間の線の長さは√(1＋4)

想像以上にこの問題厄介

[24 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 07:03:06]

問2
2025＝(3^4)×(5^2)のため、
xy軸を辺に持つ長方形が　15×4　通り
5=1＋4
25＝9＋16
45＝9＋36
225＝144＋81
2025＝729(27^2)＋1296(36^2)
であるため、
(3^4)×5 で 10×8 通り
3^4で　5×8 通り
(3^2)×5 で 6×8 通り
3^2で　3×8 通り
1で　8通り
斜めの辺を持つ長方形がある
合計　15×4＋25×8＝260通り
この問題きつすぎる…どっか間違えてそう

[25 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 09:57:00]

>>22

x^2-y^2＝xyじゃなくて2^x-2^y=xyじゃない？

[26 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 11:45:12]

>>25

うわー、よく見てなかった。訂正

問1

2^x-2^y＝xy を考える。

(i)xもしくはyのどちらか一つに負の数が含まれているとき

片方に負の数が含まれているとき、整数を割り切れない分数で引いた場合、割り切れない分数になるため不適

(ii)xもしくはyのどちらも負の数のとき

(1-(1/2^k))(1/2^j)＝整数

((2^k)-1)/(2^(j+k))＝整数

これは明らかに分子の奇数を分母の偶数で割り切れていないため不適

(iii)どちらも正の数のとき

xとyのどちらも5以上の時を考える

2^6-2^5>30

2^x-2^y>xyが成り立つとする

両辺を2倍すると、2^x-2^y>xy

2(2^x-2^y)>2xy

xとyのどちらも5以上のとき、xy>x+y+1が成り立つ

x+1＝j、y+1＝k とおくと、

2(2^x-2^y)>xy+x+y+1

(2^j-2^k)>jk

数学的帰納法よりx=y+1で成り立たないことが示される。これにより、yが5以上で成り立たないことが自明である。

yが0から4を考えたとき、

(0,0),(2,1)のみが適する。

よって、(0,0),(2,1)が求める組

余白が足りなくて証明書いてない部分あるけど証明簡単だから任せた。

[27 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 13:28:43]

問3
金玉を円、毛をヒモと言い換える。円の接点を原点として、円の接線をy軸におく。ヒモ紐の先が通る座標は、xのマイナス側で(cosθ-1-(2π-θ)sinθ, sinθ+(2π-θ)cosθ)
y dxで積分する。
dx/dθ＝-(2π-θ)cosθであるため、
-(2π-θ)cosθ(sinθ+(2π-θ)cosθ)
を0から2πまで積分したものからπを引いて2倍すればよい。
積分したくないよー
これかなり力技だけど、もっといい解法ある気がしてきた

[28 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 21:25:37]

なんかすごいことだけわかる（小並感）

[29 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 22:47:20]

>>27

どうして言い換える必要が…？

[30 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 22:52:30]

問3これちょっと毛先が金玉にめり込んでない？

[31 二次元好きの匿名さん 25/02/19(水) 22:57:37]

>>29

玉と円て数学的に違うからじゃね

金玉だと重力による重みも加味するだろうし立体の求め方だろうし

[32 二次元好きの匿名さん 25/02/20(木) 07:13:35]

亜久米大って各分野たつとろ語の教科書出してそう

[33 二次元好きの匿名さん 25/02/20(木) 17:13:56]

回答が来るまでは残ってくれ

[34 二次元好きの匿名さん 25/02/20(木) 17:19:53]

座標が共に整数である金玉を格子金玉という……♡

ここよくわかんねぇ！点でいいの？

[35 二次元好きの匿名さん 25/02/20(木) 21:22:35]

ひとまず問1の解答……♡

[36 二次元好きの匿名さん 25/02/21(金) 07:07:17]

あぶねえ保守っと

[37 二次元好きの匿名さん 25/02/21(金) 12:54:53]

ある程度の勘が必要なの意外だな
数学ってそういうの無塩の世界だと思ってたから

[38 二次元好きの匿名さん 25/02/21(金) 18:14:32]

無駄に洗練された金玉劇場で草
というか回を重ねるごとに本家にも劣らないたつとろ語であることに感動すら覚えてる

[39 二次元好きの匿名さん 25/02/22(土) 01:56:30]

数とろは大学生らしいので大学生ってすごい(小並感)

[40 二次元好きの匿名さん 25/02/22(土) 02:08:44]

問４ぉ〜んっ♡の　金玉は原点にある（０，０）

金玉は原始であるみたいで好き……♡
座標で表したら金玉みたいでもっと好き……♡

[41 二次元好きの匿名さん 25/02/22(土) 02:56:22]

問5はぶっちゃけ等面四面体の直方体への埋め込みを知ってるかどうかのほぼ知識ゲーなんだよな

[42 二次元好きの匿名さん 25/02/22(土) 12:39:46]

自分で答え導く人もだけど解答見てなるほどなーって分かる人もすごい

[43 二次元好きの匿名さん 25/02/22(土) 17:33:24]

想定より苦戦……♡
誘導つけた方がよかったか

[44 二次元好きの匿名さん 25/02/23(日) 00:41:23]

>>43

(ⅰ)の方は解説見てなんとなく分かったけど(ⅱ)は自力じゃ無理だ

[45 二次元好きの匿名さん 25/02/23(日) 09:56:53]

解説が来ないと理解できないから気になって夜しか眠れないんだ

[46 二次元好きの匿名さん 25/02/23(日) 19:05:06]

保守

[47 二次元好きの匿名さん 25/02/24(月) 00:42:17]

この解答ペースだともしやこのスレ2週間分か？

[48 二次元好きの匿名さん 25/02/24(月) 10:35:55]

来ないかな