【至急】数学詳しいあにまん民【助けて】

-sin(7pi/6)
=-sin(pi/6+pi)
----ここから
=-{sin(pi/6+pi)}
=-{sin(pi/6)cos(pi)+cos(pi/6)sin(pi)}
=-[sin(pi/6)*(-1)+cos(pi/6)*0}
=-{-sin(pi/6)}
----ここまでが省略されてる
=sin(pi/6)=1/2

図形イメージで頭がわやになるなら、機械的に処理した方が楽

>>151

151二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 03:17:23

>>150

そもそも>>1は加法定理を習っていないとおもうけど……

1 動径と一般角

2 弧度法と扇形

3 三角関数の値（単位円）

4 【問題演習】三角関数の値（単位円）

5 三角関数の相互関係の公式　←今この辺？

6 三角関数の式の値

7 三角関数の等式の証明

8 三角関数の性質①

9 三角関数の性質②

10 三角関数のグラフ①

11 三角関数のグラフ②（縦幅の変化）

12 三角関数のグラフ③（周期の変化）

13 三角関数のグラフ④（平行移動）

14 三角関数のグラフ⑤（式変形）

15 三角関数を含む方程式①

16 【問題演習】三角関数を含む方程式

17 三角関数を含む方程式②（範囲変化）

18 三角関数を含む不等式①

19 三角関数を含む不等式②（範囲変化）

20 三角関数を含む２次方程式

21 三角関数を含む２次不等式

22 三角関数を含む２次関数

23 加法定理　　　←ここ

152二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 03:22:29

後、単位円を使わないならどうやって加法定理を証明するの？

加法定理を証明せよ！【1999東大数学理系/文系1⃣解説】 | 地頭力養成アカデミーどうも！地頭コーチSHUです！今日も入試数学の解説をしていこうと思います。今回取り扱うのは「加法定理の証明」です。出題はなんと東京大学！1999年の入試で理系文系ともに...exam-master.jp

行列や複素数との対応を確認する上でも単位円を使うのでは？

>>153 >>156 >>169

153二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 09:07:22

>>152

誰も証明のことなんて言ってなくね？

>>155

154二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 09:22:40

単位円書いたら済む話やん

155二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 10:56:12

>>153

えーと、この段階で加法定理を使った三角関数の式変形を教えることは

証明の仕方も分からずに加法定理という定理を使うことになるから危険と言いたかった

156二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 11:01:17

大学行くと、多変数の三角関数の多項式とか、その偏微分／積分とか、そういう計算をするようになる

単項の値のイメージならともかく、そういう計算で単位円描きながらどうなっているのか考えるとか無理

高校のうちに式の展開で考える練習しといた方がいいというのと

単位円でつまずいて進めなくなるくらいなら、先に加法定理まで進んでしまってそれを適用した方がいい

>>152

加法定理の証明の方法はいくつかあるよ

単位円使うのは、履修済みの範囲で説明すると、という縛りプレイだから

オイラーの公式使うと簡単に導出できる

>>157

157二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 11:16:11

>>156

大学受験自体が一種の縛りプレイだから……

受験で加法定理の証明を行うときに使うとしたら、オイラーの公式は高校履修外

オイラーの公式自体の証明が書かれていない❌とされても文句を言えないのでは……

加法定理を使う方法を知らないと、例えば加法定理の証明自体を記述解答として書くときに上記のようなことになりかねない

不便だから単位円を使わないはともかく、単位円を使えないから使わないというのはまずいかと……

いや、確かに受験生が裏技として知っとくのは超大事だとおもうし

記述しなくていいなら自分も式変形で求めるのが大好きだったけど！！

今は無きセンター試験とかでならむしろ推奨するけど！！

158二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 11:33:45

このレスは削除されています

>>159

159二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 11:41:45

>>158を訂正

あくまでブログだから、信用ならないと言われたらそこまでだけど

「回転行列やオイラーの公式を用いて証明した答案は，すべて 0 点だったといわれている。」

昔東大で加法定理の証明が出題されたらしいよ２ : 怜悧玲瓏　～高校数学を天空から俯瞰する～ワイヤーではない，ポリウレタンロープによる４重跳び３回の撮影に成功した。足をたたむ姿勢は，未だ達成できていないが，少しずつうまくなっている気がする。５重跳びは，４重跳び４回以上の練習の延長上にある気がしてきた。今後も，怪我をしないようにがんばっていきたいblog.livedoor.jp

何が言いたいかというと、ちょっとした式変形程度で加法定理にしか頼れないのはまずい

受験本番でその場で大学レベルの定義を行える以外の人にとっては単位円を使わない解法というのは身の丈に合わない

高校生、特に2年生までは素直にsin(θ＋π)=−sin(θ)ぐらいは単位円で書いて確認できるようであるべき

オイラーの公式を使うのは大学受験段階では記述に載せられないあくまで裏技であり、勧めるようなものではない

世の中には問題用紙に書かれた計算までチェックする達の悪い大学もあるらしいし……

>>169 >>174

160二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 11:51:07

オイラーの公式を大学受験の裏ワザとして覚えるにはあまり旨みがない気がする
前提として複素数平面と微分積分を理解する必要があるし、そこまでできるんだったらわざわざオイラーの公式を使う必要性がない

裏ワザだったら1/6公式とかトレミーの定理、ロピタルの定理の方が実用性が高い

>>161

161二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 12:00:56

>>160

うん、自分もロピタルとか便利だと思う

1/6公式とかセンター必須だったし

なんにせよ、高校1,2年生が-sin(7π/6)=1/2を求めるときに

加法定理にしか頼れないより、

高校数学らしく単位円書いて確認することができた方がいいという意見です　はい

もういないと思うけど、ほぼ関係ない定義の話とかまで持ち出して>>1さんすいませんでした

162二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 12:12:30

そもそもオイラーの定理の加法定理使わない証明方法知ってるんです?

>>163

163二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 12:41:12

オイラーの定理

オイラーの定理 (数論) - Wikipediaja.wikipedia.org

オイラーの公式の証明方法

https://rikeilabo.com/eulers-formula#31

>>162　もし証明の最中に微分積分を使うなら、加法定理は避けられないということでしょうか？

マクローリン展開とかおもいっきり微分使いますもんね

加法定理を使わないオイラーの公式の証明わからないです

今まで偉そうに書いててお恥ずかしいのですが、実は高校までしか真面目に数学を勉強していないので……

教えてください!!詳しい解説のあるリンク先でもいいので

高校時代は単位円使いまくり、157で述べた式変形もcos(α+β)=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)ぐらいでして

159までで言ってたのは、オイラーの公式が高校履修外であることと単位円をお勧めする理由だけですね

高校時代に何度も、大学範囲のものそれこそロピタルとかを受験で不用意に使うのはまずいと教わってきたので

>>166

164二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 12:46:54

sin、cosを無限級数で定義してそれが幾何学的に定義したsin、cosと合同なことを示せばいいんじゃないかな

書きながら思ったけどこれ途中で加法定理使いそうだな……

>>166

165二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 13:00:19

加法定理を証明せよ、というそのままの出題に対応するという話では無く
スレ主は
sin(θ+pi)=-sin(θ)
が理解できないと悩んでいるのに、それに対する答えとして単位円一本鎗なのはどうよ？
いろんな理解の方法があるのに、狭い一本道だけ示して、そこ通れなきゃお前は落第しな、というのは違うんじゃないか？
一歩引いて俯瞰して見ることで、自分に合った理解の道筋を選べばいい
求める結果としては、sin(θ+pi)=-sin(θ)　という展開が使いこなせるようになること、なんだし

加法定理なんて、証明は後でやるからとして、とりあえず使えればいいという割り切り方だってあるはず
極端な話、1+1=2の証明なんて99%の人は知りもしないが、それでも普通に使ってるのと同じ

>>166 >>167

166二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 13:04:57

>>163

cos(α+β)+isin(α+β)=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)に訂正

お恥ずかしい

>>164 難しそう…… 自分でもその方向性で勉強してみます　ありがとうございます！！

なんにせよ、>>1さんは高校の職員室に行って先生に質問してきてください

オイラーの公式やらロピタルやらはできれば今は忘れて……

>>165　単位円を理解しなきゃはっきり三角関数落第だと自分は考えています……　確かに傲慢かもしれないけれど

1+1=2の理解は大学院入試ぐらいなのかな？ぐらいに行かなきゃ問われないけれど、単位円を使った理解を現実として大学受験で見てくるので……

>>175

167二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 13:07:16

>>165

加法定理習ってない学生にこの問題は加法定理使って解くんだとか言う意味はあるのか…

168二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 13:12:28

>>102

東大数学の有名なやつじゃなかったか？

確か色々な受験生が足元を掬われたとか。

>>169

169二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 13:14:25

>>168

>>159や>>152で使わせていただきました

170二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 13:14:44

伝説の入試問題

>>171

171二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 13:19:07

>>170

これって(1)でe^iθの実部虚部がcosθとsinθですって勝手に定義して(2)をさらっと解いたら部分点何点もらえるのかな

>>174

172二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 13:19:31

教科書には加法定理の証明書かれているんだけどなぶへへ
教科書を真面目に勉強できず、証明できない定理を使う昔の俺みたいなやつは死ぬのみよ

東大が出したいうことは、他の大学があの手この手で20数年後に出してきても文句言えないんだよな〜

173二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 13:20:04

このレスは削除されています

174二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 13:20:24

>>171

>>159

175二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 13:41:46

>>166

三角関数に限らず、図形による説明は相手の直感に頼るもので、理解は運次第です

論理的な思考が得意な人でも、そういう直感による理解が苦手な人もいます

また、そういう直感に頼った理解しかできないと、この先扱う対象の抽象度が上がるにつれて、ついていけなくなります

しょせん2次元平面に絵を描ける範囲なんか限定的ですし

別に数学専攻でなくても、数学を論理言語として操る能力は、あちこちで要求されます

高校数学の範囲なら、図形見て直感で理解できるならそれで良し

そうでなくても論理言語で理解できるなら、そういう道もあって良し、というのが私の考えです

>>176

176二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 14:03:14

>>175

確かに、一般的に問題を解く上では図形的アプローチと、計算や論理で解くアプローチの2種類あります

目の前の問題を解く上ではそれでいいかもしれません

しかし、三角関数は高校では単位円を用いて定義されており大学もそのつもりで問題を出してきます

定義を知らないというのは問題を解く解かない以前の問題です

大学では単位円を使わずに定義するかもしれませんが、高校数学で悩んでいる人に教えるものではないと考えています

上記で述べたように大学受験で困ることになるからです

例えば、下のセンター試験の解説は全て単位円で行われてしまっています

2B 第１問 [2]｜2012年本試｜センター試験数学解説｜おおぞらラボwww.ozl.jp

単位円による三角関数の定義を知らないままでは解説を読むこともままなりません

定義を知るということは、ここでは-sin(7π/6)の値の確認で単位円を用いることができるという意味です

加法定理を使う方が早いし好みだとしても、その定理を使うのは単位円を理解した前提での話かと

>>177

177二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 14:25:16

>>176

例示の問題は、

sin(pi/6)=1/2　であることを知っているか

2βをXと代入できて、cosX=1/2　であるXを知っているか、それが複数点になることが理解できてるか

を問う問題です

単位円での解説は、そのサイトの便宜上のものでしかありません

代表的な三角関数の値は、三角比の暗記でしかないし

三角関数の値が1～-1まで周期的に変化して、0～2piのフェーズで同じ値が2回でてくるのは、グラフでも説明可能なことです

というか、先々の事を考えるとグラフで理解してください

>>180

178二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 14:45:39

このレスは削除されています

179二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 15:21:22

このレスは削除されています

180二次元好きの匿名さん21/10/27(水) 15:27:54

>>177

無駄に長文になったので上二つ消しました

グラフで理解できる人は単位円理解してるでしょ！！

181二次元好きの匿名さん21/10/29(金) 06:26:08

>>93

ホンマこの公式クソ

>>182

182二次元好きの匿名さん21/10/29(金) 12:37:33

>>181

まあ、暗記してると便利くらいで本来その場で確認すりゃいいだけだもんな